Proposición 6.14

Enunciado

El producto de dos aplicaciones recubridoras es una aplicación recubridora.

Demostración

Tenemos $p_{1} : E_{1} \to B_{1}$ y $p_{2} : E_{2} \to B_{2}$ aplicaciones recubridoras con $b_{i} \in B_{i}$ . Sean ${V_{α}}$ y ${V_{β}}$ particiones por abiertos de $U$ , entorno de $b_{1} \times b_{2}$ . Para todo $b_{1} \times b_{2} \in B_{1} \times B_{2}$ buscamos abiertos $V_{j}$ tales que si $p = p_{1} \times p_{2}$ se cumpla

p^{- 1} (U) = ⋃_{j \in J} V_{j} y p |_{V_{j}} : V_{j} \to U homeomorfismo

Basta tomar $U = U_{1} \times U_{2}$ y comprobar que todo funciona.

Ejemplo

$p \times p : R^{2} \to S^{1} \times S^{1}$ es recubridora sobre el toro.